15 May, 2009

فــلــســفــة ريــاضــيــة

نظرية الإحصاء

Theory of Statistics

اختبار صحّة الفرضيات

Test Of Hypothesis

يتعلق موضوع اختبار الفرضيات بشكل رئيسي عندما نريد اختبار شيء ما نريد تغييره، آلة أو مجموعة من الآلات ما في مصنع ما نعتقد بأنّها السبب في ضرر ما في المنتج، فنجري اختبارًا إحصائيًا يُسمّى "اختبار الفرضيات".. والتي نضع فيه الوضع القديم "الحل القديم" في وضع مقارنة مع الوضع الجديد "الحل الجديد"، وبناء على النتيجة في النهاية، يمكننا أن نقرر إذا كنّا سنقوم بالتغيير أم لا. تكون الإجابة بالنفي أو الإثبات عادةً... النفي معناه رفض الحل القديمThe Null hypothesis وقبول الحلّ الجديد، والعكس بالعكس.


لو قلنا نعم، فإننا نقوم بقبول الفرضية المعطاة وأخذها كحلّ

Accept Null Hypothesis

وهو الافتراض الأصلي لنا، أي أن الوضع لن يتغير، وبالنسبة للمثال أعلاه، فإن المشكلة ليست في الآلة أو الآلات التي تمّ عليها الاختبار، فربّما هو خطأ من العاملين، أو من المواد الأولية التي تعطى للآلات!

وعلى العكس، لو كانت الإجابة بلا، فإننا نرفض الفرضية المعطاة..

Reject Null Hypothesis

بغض النظر وجدنا الحل الصحيح أم لم نفعل، فنحن نقول أن هذه الآلات هي سبب المشكلة. تعاملوا إذن مع الموقف.

مثال آخر على ذلك .
لدينا عدد معيّن من أعراض مرض ما، لنقل 3 أعراض معيّنة أ، ب وجـ.. الفرضية التي نريد نفيها أو إثباتها أننا إن وجدنا أ، ب وَجـ من الأعراض في شخص ما فإنه يعاني من المرض..


نقوم بعملية حسابية..تختلف درجة تعقيدها من مسألة لأخرى...نقبل في نهايتها هذا الفرض أو نرفضه..


مثال آخر..
لدينا العديد من أنواع الأعطال التي تصيب الغوّاصات، مقابل عدد كبير من ‘ الماركات’ إن صحّ التعبير للغواصّات، فرضنا أن نوع العطل يعتمد على ‘ ماركة’ الغواصة، ونريد نتيجة تخبرنا بصحة هذا الفرض.


وواحد أخير..
لو فرضنا أن توزيع البيانات
Observationsالتي لدينا تتبع التوزيع الطبيعي Normal Distribution سنقوم بحسابات معيّنة على هذه البيانات نعرفُ منها في النهاية إن كانت البيانات فعلا تتبع التوزيع الطبيعي أم لا.. لو كانت الإجابة بالنفي لن نعرف التوزيع الذي تتبعه إلا بحسابات أخرى..


وعلى وجه العموم .. يوجد نوعان من الخطأ يمكن أن يحدث أثناء حل هذا النوع من المسائل، واحد منها ليس شديد الخطورة، بل وربما نعتبر وجوده صديقًا لنا !


النوع الآخر أكثر بشاعة.. ويعتبر كارثة إحصائية..
يوضح الرسم البياني مساحة الخطئين بالنسبة لحجم بيانات موزّعة توزيعًا طبيعيًا..



متى يحدث النوع الأول من الخطأ؟ -
Type I error-

يحدث عندما تكون الفرضيَة صحيحة ومع ذلك أرفضها – لسبب من الأسباب- ربما يكون خطأ حسابيًا أو غيره..

النوع الثاني – والأبشع – ؟ - Type II error-

يحدث عندما تكون الفرضيّة خاطئة ومع ذلك أقبلها.. لأي سبب من الأسباب.

حسنًا..ما علاقة هذا كله بالفلسفة ؟
ربما لأنني أمسيتُ من عشّاق الرياضة، بما فيها فرع الإحصاء طبعًا فإنني أقوم بإسقاط ما أدرس -أقرأ- في الرياضة أحيانًا على حياتي الواقعية..


وجدتُ أن موضوع الأخطاء فعلا ينطبق على قراراتنا التي نتخذها / لانتخذها في حياتنا.. مابين قرار سليم لم نأخذه، وقرار غير سليم اتخذناه..


القرار السليم الذي نتركه تضيع منا بسببه فرصة رائعة..لكننا نعيش بعد ذلك لنلاقي العديد من الفرص، وقد – في مرة من المرّات- نتخذ القرار السليم حينها..


القرار الغير السليم الذي نتخّذه .. نكون حينها وكأننا قررنا تعاستنا بأيدينا.. كما الكلمات.. كلمة جميلة لم تقلها.. أنت تندم.. كانت ستدخل السرور على أحدهم، أو كان يحتاجها بينما بخلت بها، تبحث عن أقرب فرصة للتعويض، وتتنفس الصعداء.

بينما الكلمة الجارحة التي قلتَها؟ مهما ندمتَ.. مهما اعتذرتَ.. هل تستطيع أن تلغي تأثيرها؟ وإن حدث.. ألن تلعن تسرّعك ألف مرة عندما تتذكر الموقف؟

هل نتوقف عن اتخاذ القرارات إذن؟

كيف نعرف أن هذا القرار صحيح أم لا؟

ربما يكون هذا في طيّات رياضيات قادمة !

وإلى فلسفةٍ أخرى.

10 comments:

The_Explorer said...

I am sorry to write this in English, I don't have my arabic keyboard now. There are mathematical areas concerned with decision making, these are: decision theory and game theory.

77Math. said...

كلامك صحيح.. أنتظر فقط أن أرتّب أفكاري ومعلوماتي حول هذ االموضوع..
هناك الكثير من الرياضة في حياتنا دون أن ندري..
لكن سؤالي في النهاية كان فانتازيًا أكثر من كونِه استفهاميًا..

أكثر ما جذبني مؤخرا نظريتي الـ
Fuzzy && Chaos
وسأتحدث عنهما عندما يتاح لي ذلك بإذن الله ..

شكرًا لمرورك وتعليقك بأيّ لغة..:)

تحياتي

Mustafa said...

كلام جميل عن اسقاط الرياضيات على حياتنا

طبعا ال
mathematical logic
احد افرع ال
foundation of mathematics

بس بالاساس اعتقد ان المفهوم الغائب هو المنطق و التفكير المنطقى
logic & rational thinking

و ده اللي متعمد عليه كل العلوم مش الرياضيات بس . لكن السؤال الظريف اللي قفذ الى ذهني هو
this statement is false
هل انت على دراية بال
paradox
ده؟

هل يوجد له مثيل في اختبار صحة الفرضيات احصائيا؟ لانه موجود في تقريبا كل انظمة/نظريات الاثباتات المنطقية
deduction

بس هل موجود في الاحصاء؟

-مصطفى

77Math. said...

لم أفهم في الحقيقة سؤالك،

ما هو الموجود في الإحصاء بالضبط؟

ال
logic & Rational thinking ?


أنا أعتقد أن الفلسفة كان أصلها رياضيًا !!

Mustafa said...

أنت ذكرت

يوجد نوع من المسائل يوجِد مدى صحة فرضية معيّنة وكونها الحل الصحيح للمشكلة أم لا...تكون الإجابة بالنفي أو الإثبات عادةً

يعني الجمل اما صح او خطأ .. و اثبات ذلك يتم بطريقة معينة في الاحصاء . هل افهم من كده ان الجمل دايما اما صح او خطأ؟

فيه في المنطق الرياضي
mathematical logicجمل لا يمكن ان تكون صح و لا خطأ . علشان كده اسمها متناقضات ري ديه
Liar paradoxسؤالي كان: هل هذا النوع من الجمل (اللي منقدرش نثبت انها صح و لا نثبت انها غلط) هل موجوده في الاحصاء؟ و لا لأ

عموما مفيش حرج لو لم تتنامى الى علمك

تحياتي

77Math. said...

لأ أنا محرجة جدًا لدرجة إني حجاوب اللي أعرفه بس

موضوع الاختبارات دا تطبيقي، أو عملي، من ينفذه يريد اتخاذ قرار معيّن بشأن شركته أو أيًا كان التطبيق الذي يريده، لذلك لابد على الإحصائي الذي يقوم بهذا العمل أن يمنحه قرارًا ما.

إما نعم أو لا

نظريًا. لايوجد هناك شيء كامل الصحة لا يحتمل الخطأ، أو شيء كامل الخطأ لا يحتمل الصواب.

لذلك، تكون النتيجة عبارة عن فترة
interval
في حال كانت الإجابة بنعم
تمثّل مدى "صوابية" هذه الإجابة، إن صحّ التعبير

وهذا ما يسمّى بـ
Confidence interval level,


تحياتي

Mustafa said...

مفيش احراج و لا حاجة . عموما أنا مكنش مفروض اتقل عليكي في السؤال كده.

مع ذلك ردك وضحلي حاجة و خلاني اكون رأي مبدأي
intuition

انا ممكن اكتب تدوينة بعدين عن الموضوع ده ٬ بعد دراسة الموضوع اكتر . بس عايز مساعدتك هنا:

الجملة: انا كداب

تعتقدي من واقع فهمك للطريقة الاحصائية دي و من واقع روح الاحصاء عموما ٬ تفتكري الجملة دي اذا اختبراناها علشان نبني درجة من الثقة ٬ تفتكري ح يحصل ايه؟ هل الفترة ح تبقى صفر و لا كل المجال؟ و لا ايه؟ الاجابة صعبة فعلا في رأيي بس عايز مجرد ال
intuition
بتاعك

خلي بالك الجملة دي في المنطق مشكلة كبيرة: لانك لو صدقتيني ح تصدقي كلامي و تستنتجي مباشرة من كلامي اني كداب يعني مش لازم تصدقيني . تناقض!

و لو كدبتيني ٬ اذن تستنتجي من كلامي اني مش كداب ٬ يعني انا صادق (صح او غلط؛ صادق او كداب؛ صفر او واحد) و كوني صادق تناقض من انك مكدباني!

العيب فين؟ في فرضية ان الجملة اما صح او غلط. و العبرة ان فيه جمل ما نقدرش نثبت انها صح او غلط

مع التبسيط المخل طبعا.

المهم اني مهتم بسماع رأيك حوالين السؤال أعلاه

77Math. said...

طيب أنا حردّ الأول بشكل إحصائي،

عندما نقوم بعمل هذا الاختبار، لا نقوم به عشوائيًا، بل على أساس قوانين مدروسة وتوزيعات إحصائية معروف متغيراتها

عندما أقول"أنا كذاب" هكذا فقط فالمعلومات غير كافية للدراسة واتخاذ القرار بشكل إحصائي.



رأيي الـخاصّ لا يختلف عن ذلك، لو أنني أعرف الشخص الذي يتحدث فلن أصدقه أو أكذبه حسب جملته

لأنني
already

عارفة هو كاذب ولا لأ من خلال معرفتي به، فلن يغير قوله شيئًا لأنني أعرفه جيّدًا

لو شخص لا أعرفه.. لن أستطيع الحكم عليه، وبالتالي فليذهب للجحيم بصدقه أو كذبه :D


تحياتي لك وعذرا للتأخير

الرسام الواقعي said...

ممكن أدخل في المناقشة.بعد إذنك يا إيمان
أنواع القياس
1.القياس البرهاني:هو قياس يثبت صدق نتائجه معتمدا علي مقدمات صادقة او مسلم بها كأنها صادقة،مثل قولنا:
كل انسان مائت
سقراط انسان
فاذن سقراط مائت
2.اما القياس الجدلي(الاحتمالي)فهو قياس مقدماته ظنية مثل قولنا:الاكسجين عنصر اساسي للحياة و من المحتمل ان يكون القمر محاطا بطبقة من الاكسجين فاذن من المحتمل ان توجد الحياة في القمر.
3.القياس الخطابي:لا تقوم مقدماته علي اساس منطقي،بل علي اساس عاطفي مثلا:
خلاصكم في حبكم لوطنكم
و انتم تريدون خلاصكم
فاذن عليكم بحب وطنكم
4.القياس المغالطي فهو قياس يبدأ بمقدمات صادقة،أو تبدو كأنها صادقة،و لكنه ينتهي الي نتائج غير مقبولة،أما سكل الياس فهو صحيح ،مثلا:
اذا رفعت حبة قمح من كوم فهذا لا يزيل الكوم
ارفع حبة ثم حبة،ثم حبة،فلا ازيل الكوم
اذن ارفع الحبات كلها الا حبة واحدة فيبقي الكوم
فالكوم حبة واحدة
من الواضح ،في هذا القياس،ان النتيجة التي ينتهي لها تهدم تعريفنا للكوم.

النوع الأول يطلق عليه المنطق.النوع الثاني ينتمي الي علم الاحصاء.
المنطق علم يدرس قوانين التفكير الأساسية،بصرف النظر عن مادة هذا التفكير أو موضوعه،فهو معني بصحة الاستدلال و سلامة الانتقال من المقدمات إلي النتائج،و لا شأن له بالحكم بانطباقها أو عدم انطباقها علي الواقع ،إنه معني بالصحة و ليس بالصدق،فالصحة و البطلان خاصة للاستدلال،أما الصدق و الكذب فمجرد خاصة للقضية.
الاحصاء يعتبر رياضة تطبيقية..معنية بالقضية والواقع.و حضرتك تعرف في الرياضة التطبيقية نهتم بالحل الذي يؤدي الي نتائج عملية.
بالنسبة للمنطق و علاقته بالرياضيات و فلسفة العلم..ده موضوع كبير..أعتقد برتراند راسل احسن مجيب.علي فكرة المشكلة لم تنتهي بعد.
أعتقد ردي مناسب لكون البلوج ليس متخصص في المنطق..لكن ممكن عند حضرتك فيما بعد لو حبيت..نتحدث علي المنطق من ارسطو الي وقتنا هذا.
علي فكرة أعتقد رد إيمان كان مناسب جدا لعلمها.

Mustafa said...

@الرسام الواقعي

شكرا لردك . انا مدرك ان ال
mathematical logic
من المواضيع المتقدمة في الرياضيات ٬ بس ساعات برده مفيد ان الواحد يتخطى حدود معرفته ٬ و اعتقد ده مفيد لنا كلنا . و انا استحضرت المنطق الرياضي لانه احد اساسيات الرياضيات
foundation of mathematicsو ليس المنطق الفلسفي على عمومه و ان كنت لا امانع ابدا و ارحب بحوار عنه

دمتم بخير